3.222 \(\int (a+b \tanh ^2(x))^{3/2} \, dx\)

Optimal. Leaf size=88 \[ -\frac {1}{2} b \tanh (x) \sqrt {a+b \tanh ^2(x)}+(a+b)^{3/2} \tanh ^{-1}\left (\frac {\sqrt {a+b} \tanh (x)}{\sqrt {a+b \tanh ^2(x)}}\right )-\frac {1}{2} \sqrt {b} (3 a+2 b) \tanh ^{-1}\left (\frac {\sqrt {b} \tanh (x)}{\sqrt {a+b \tanh ^2(x)}}\right ) \]

[Out]

(a+b)^(3/2)*arctanh((a+b)^(1/2)*tanh(x)/(a+b*tanh(x)^2)^(1/2))-1/2*(3*a+2*b)*arctanh(b^(1/2)*tanh(x)/(a+b*tanh
(x)^2)^(1/2))*b^(1/2)-1/2*b*(a+b*tanh(x)^2)^(1/2)*tanh(x)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.09, antiderivative size = 88, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 7, number of rules used = 6, integrand size = 12, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.500, Rules used = {3661, 416, 523, 217, 206, 377} \[ (a+b)^{3/2} \tanh ^{-1}\left (\frac {\sqrt {a+b} \tanh (x)}{\sqrt {a+b \tanh ^2(x)}}\right )-\frac {1}{2} \sqrt {b} (3 a+2 b) \tanh ^{-1}\left (\frac {\sqrt {b} \tanh (x)}{\sqrt {a+b \tanh ^2(x)}}\right )-\frac {1}{2} b \tanh (x) \sqrt {a+b \tanh ^2(x)} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(a + b*Tanh[x]^2)^(3/2),x]

[Out]

-(Sqrt[b]*(3*a + 2*b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[x])/Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]])/2 + (a + b)^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[a + b]
*Tanh[x])/Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]] - (b*Tanh[x]*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2])/2

Rule 206

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1*ArcTanh[(Rt[-b, 2]*x)/Rt[a, 2]])/(Rt[a, 2]*Rt[-b, 2]), x]
/; FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || LtQ[b, 0])

Rule 217

Int[1/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Subst[Int[1/(1 - b*x^2), x], x, x/Sqrt[a + b*x^2]] /; FreeQ[{a,
b}, x] &&  !GtQ[a, 0]

Rule 377

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)/((c_) + (d_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Subst[Int[1/(c - (b*c - a*d)*x^n), x]
, x, x/(a + b*x^n)^(1/n)] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[n*p + 1, 0] && IntegerQ[n]

Rule 416

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[(d*x*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c
+ d*x^n)^(q - 1))/(b*(n*(p + q) + 1)), x] + Dist[1/(b*(n*(p + q) + 1)), Int[(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^(q - 2)
*Simp[c*(b*c*(n*(p + q) + 1) - a*d) + d*(b*c*(n*(p + 2*q - 1) + 1) - a*d*(n*(q - 1) + 1))*x^n, x], x], x] /; F
reeQ[{a, b, c, d, n, p}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && GtQ[q, 1] && NeQ[n*(p + q) + 1, 0] &&  !IGtQ[p, 1] && IntB
inomialQ[a, b, c, d, n, p, q, x]

Rule 523

Int[((e_) + (f_.)*(x_)^(n_))/(((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))*Sqrt[(c_) + (d_.)*(x_)^(n_)]), x_Symbol] :> Dist[f/b, I
nt[1/Sqrt[c + d*x^n], x], x] + Dist[(b*e - a*f)/b, Int[1/((a + b*x^n)*Sqrt[c + d*x^n]), x], x] /; FreeQ[{a, b,
c, d, e, f, n}, x]

Rule 3661

Int[((a_) + (b_.)*((c_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_), x_Symbol] :> With[{ff = FreeFactors[Tan[e + f*x]
, x]}, Dist[(c*ff)/f, Subst[Int[(a + b*(ff*x)^n)^p/(c^2 + ff^2*x^2), x], x, (c*Tan[e + f*x])/ff], x]] /; FreeQ
[{a, b, c, e, f, n, p}, x] && (IntegersQ[n, p] || IGtQ[p, 0] || EqQ[n^2, 4] || EqQ[n^2, 16])

Rubi steps

\begin {align*} \int \left (a+b \tanh ^2(x)\right )^{3/2} \, dx &=\operatorname {Subst}\left (\int \frac {\left (a+b x^2\right )^{3/2}}{1-x^2} \, dx,x,\tanh (x)\right )\\ &=-\frac {1}{2} b \tanh (x) \sqrt {a+b \tanh ^2(x)}-\frac {1}{2} \operatorname {Subst}\left (\int \frac {-a (2 a+b)-b (3 a+2 b) x^2}{\left (1-x^2\right ) \sqrt {a+b x^2}} \, dx,x,\tanh (x)\right )\\ &=-\frac {1}{2} b \tanh (x) \sqrt {a+b \tanh ^2(x)}+(a+b)^2 \operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{\left (1-x^2\right ) \sqrt {a+b x^2}} \, dx,x,\tanh (x)\right )-\frac {1}{2} (b (3 a+2 b)) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{\sqrt {a+b x^2}} \, dx,x,\tanh (x)\right )\\ &=-\frac {1}{2} b \tanh (x) \sqrt {a+b \tanh ^2(x)}+(a+b)^2 \operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{1-(a+b) x^2} \, dx,x,\frac {\tanh (x)}{\sqrt {a+b \tanh ^2(x)}}\right )-\frac {1}{2} (b (3 a+2 b)) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{1-b x^2} \, dx,x,\frac {\tanh (x)}{\sqrt {a+b \tanh ^2(x)}}\right )\\ &=-\frac {1}{2} \sqrt {b} (3 a+2 b) \tanh ^{-1}\left (\frac {\sqrt {b} \tanh (x)}{\sqrt {a+b \tanh ^2(x)}}\right )+(a+b)^{3/2} \tanh ^{-1}\left (\frac {\sqrt {a+b} \tanh (x)}{\sqrt {a+b \tanh ^2(x)}}\right )-\frac {1}{2} b \tanh (x) \sqrt {a+b \tanh ^2(x)}\\ \end {align*}

________________________________________________________________________________________

Mathematica [A]  time = 0.37, size = 161, normalized size = 1.83 \[ \frac {1}{2} \left (-b \tanh (x) \sqrt {a+b \tanh ^2(x)}-(a+b)^{3/2} \log \left (\sqrt {a+b} \sqrt {a+b \tanh ^2(x)}+a-b \tanh (x)\right )+(a+b)^{3/2} \log \left (\sqrt {a+b} \sqrt {a+b \tanh ^2(x)}+a+b \tanh (x)\right )-\sqrt {b} (3 a+2 b) \log \left (\sqrt {b} \sqrt {a+b \tanh ^2(x)}+b \tanh (x)\right )+(a+b)^{3/2} (-\log (1-\tanh (x)))+(a+b)^{3/2} \log (\tanh (x)+1)\right ) \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[(a + b*Tanh[x]^2)^(3/2),x]

[Out]

(-((a + b)^(3/2)*Log[1 - Tanh[x]]) + (a + b)^(3/2)*Log[1 + Tanh[x]] - Sqrt[b]*(3*a + 2*b)*Log[b*Tanh[x] + Sqrt
[b]*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]] - (a + b)^(3/2)*Log[a - b*Tanh[x] + Sqrt[a + b]*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]] + (a + b)^(3
/2)*Log[a + b*Tanh[x] + Sqrt[a + b]*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2]] - b*Tanh[x]*Sqrt[a + b*Tanh[x]^2])/2

________________________________________________________________________________________

fricas [B]  time = 3.05, size = 4841, normalized size = 55.01 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*tanh(x)^2)^(3/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/4*(((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 + 2*(a + b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b
)*cosh(x)^2 + a + b)*sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 + (a + b)*cosh(x))*sinh(x) + a + b)*sqrt(a + b)*log(-((a
*b^2 + b^3)*cosh(x)^8 + 8*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a*b^2 + b^3)*sinh(x)^8 - 2*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x
)^6 - 2*(a*b^2 + 2*b^3 - 14*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^6 + 4*(14*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^3 - 3*(a*b^2 + 2*
b^3)*cosh(x))*sinh(x)^5 + (a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3)*cosh(x)^4 + (70*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^4 + a^3 - a^2*
b + 4*a*b^2 + 6*b^3 - 30*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^4 + 4*(14*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^5 - 10*(a*b^2 + 2*
b^3)*cosh(x)^3 + (a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3)*cosh(x))*sinh(x)^3 + a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3 + 2*(a^3 -
3*a*b^2 - 2*b^3)*cosh(x)^2 + 2*(14*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^6 - 15*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^4 + a^3 - 3*a*b^2 - 2
*b^3 + 3*(a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*(b^2*cosh(x)^6 + 6*b^2*cosh(x)*sinh(x)
^5 + b^2*sinh(x)^6 - 3*b^2*cosh(x)^4 + 3*(5*b^2*cosh(x)^2 - b^2)*sinh(x)^4 + 4*(5*b^2*cosh(x)^3 - 3*b^2*cosh(x
))*sinh(x)^3 - (a^2 - 2*a*b - 3*b^2)*cosh(x)^2 + (15*b^2*cosh(x)^4 - 18*b^2*cosh(x)^2 - a^2 + 2*a*b + 3*b^2)*s
inh(x)^2 - a^2 - 2*a*b - b^2 + 2*(3*b^2*cosh(x)^5 - 6*b^2*cosh(x)^3 - (a^2 - 2*a*b - 3*b^2)*cosh(x))*sinh(x))*
sqrt(a + b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))
+ 4*(2*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^7 - 3*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^5 + (a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3)*cosh(x)^3 + (a^
3 - 3*a*b^2 - 2*b^3)*cosh(x))*sinh(x))/(cosh(x)^6 + 6*cosh(x)^5*sinh(x) + 15*cosh(x)^4*sinh(x)^2 + 20*cosh(x)^
3*sinh(x)^3 + 15*cosh(x)^2*sinh(x)^4 + 6*cosh(x)*sinh(x)^5 + sinh(x)^6)) + ((3*a + 2*b)*cosh(x)^4 + 4*(3*a + 2
*b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (3*a + 2*b)*sinh(x)^4 + 2*(3*a + 2*b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(3*a + 2*b)*cosh(x)^2 + 3*a + 2
*b)*sinh(x)^2 + 4*((3*a + 2*b)*cosh(x)^3 + (3*a + 2*b)*cosh(x))*sinh(x) + 3*a + 2*b)*sqrt(b)*log(-((a + 2*b)*c
osh(x)^4 + 4*(a + 2*b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + 2*b)*sinh(x)^4 + 2*(a - 2*b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + 2*b)*cosh(x
)^2 + a - 2*b)*sinh(x)^2 - 2*sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 - 1)*sqrt(b)*sqrt(((a + b)*cos
h(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*((a + 2*b)*cosh(x)^3 + (a
- 2*b)*cosh(x))*sinh(x) + a + 2*b)/(cosh(x)^4 + 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4 + 2*(3*cosh(x)^2 + 1)*sinh(x)
^2 + 2*cosh(x)^2 + 4*(cosh(x)^3 + cosh(x))*sinh(x) + 1)) + ((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 +
(a + b)*sinh(x)^4 + 2*(a + b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 + a + b)*sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 + (
a + b)*cosh(x))*sinh(x) + a + b)*sqrt(a + b)*log(((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*si
nh(x)^4 + 2*a*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 + a)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sin
h(x)^2 + 1)*sqrt(a + b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) +
sinh(x)^2)) + 4*((a + b)*cosh(x)^3 + a*cosh(x))*sinh(x) + a + b)/(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))
- 2*sqrt(2)*(b*cosh(x)^2 + 2*b*cosh(x)*sinh(x) + b*sinh(x)^2 - b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2
+ a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)))/(cosh(x)^4 + 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4 + 2*(3*cos
h(x)^2 + 1)*sinh(x)^2 + 2*cosh(x)^2 + 4*(cosh(x)^3 + cosh(x))*sinh(x) + 1), 1/4*(2*((3*a + 2*b)*cosh(x)^4 + 4*
(3*a + 2*b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (3*a + 2*b)*sinh(x)^4 + 2*(3*a + 2*b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(3*a + 2*b)*cosh(x)^2 +
3*a + 2*b)*sinh(x)^2 + 4*((3*a + 2*b)*cosh(x)^3 + (3*a + 2*b)*cosh(x))*sinh(x) + 3*a + 2*b)*sqrt(-b)*arctan(s
qrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 - 1)*sqrt(-b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 +
a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)
*sinh(x)^4 + 2*(a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 + a - b)*sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 + (a - b)*
cosh(x))*sinh(x) + a + b)) + ((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 + 2*(a + b)*
cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 + a + b)*sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 + (a + b)*cosh(x))*sinh(x) + a +
b)*sqrt(a + b)*log(-((a*b^2 + b^3)*cosh(x)^8 + 8*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a*b^2 + b^3)*sinh(x)^8 - 2
*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^6 - 2*(a*b^2 + 2*b^3 - 14*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^6 + 4*(14*(a*b^2 + b^3)*co
sh(x)^3 - 3*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x))*sinh(x)^5 + (a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3)*cosh(x)^4 + (70*(a*b^2 + b^3)
*cosh(x)^4 + a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3 - 30*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^4 + 4*(14*(a*b^2 + b^3)*cos
h(x)^5 - 10*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^3 + (a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3)*cosh(x))*sinh(x)^3 + a^3 + 3*a^2*b + 3
*a*b^2 + b^3 + 2*(a^3 - 3*a*b^2 - 2*b^3)*cosh(x)^2 + 2*(14*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^6 - 15*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x
)^4 + a^3 - 3*a*b^2 - 2*b^3 + 3*(a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 + 6*b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*(b^2*cosh(x)^6
+ 6*b^2*cosh(x)*sinh(x)^5 + b^2*sinh(x)^6 - 3*b^2*cosh(x)^4 + 3*(5*b^2*cosh(x)^2 - b^2)*sinh(x)^4 + 4*(5*b^2*c
osh(x)^3 - 3*b^2*cosh(x))*sinh(x)^3 - (a^2 - 2*a*b - 3*b^2)*cosh(x)^2 + (15*b^2*cosh(x)^4 - 18*b^2*cosh(x)^2 -
a^2 + 2*a*b + 3*b^2)*sinh(x)^2 - a^2 - 2*a*b - b^2 + 2*(3*b^2*cosh(x)^5 - 6*b^2*cosh(x)^3 - (a^2 - 2*a*b - 3*
b^2)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a + b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)
*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*(2*(a*b^2 + b^3)*cosh(x)^7 - 3*(a*b^2 + 2*b^3)*cosh(x)^5 + (a^3 - a^2*b + 4*a*b^2 +
6*b^3)*cosh(x)^3 + (a^3 - 3*a*b^2 - 2*b^3)*cosh(x))*sinh(x))/(cosh(x)^6 + 6*cosh(x)^5*sinh(x) + 15*cosh(x)^4*
sinh(x)^2 + 20*cosh(x)^3*sinh(x)^3 + 15*cosh(x)^2*sinh(x)^4 + 6*cosh(x)*sinh(x)^5 + sinh(x)^6)) + ((a + b)*cos
h(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 + 2*(a + b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 + a +
b)*sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 + (a + b)*cosh(x))*sinh(x) + a + b)*sqrt(a + b)*log(((a + b)*cosh(x)^4 + 4
*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 + 2*a*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 + a)*sinh(x)^2 + sqrt(
2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 + 1)*sqrt(a + b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a
- b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*((a + b)*cosh(x)^3 + a*cosh(x))*sinh(x) + a + b)/(cosh(
x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) - 2*sqrt(2)*(b*cosh(x)^2 + 2*b*cosh(x)*sinh(x) + b*sinh(x)^2 - b)*sqrt(
((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)))/(cosh(x)^4 + 4*c
osh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4 + 2*(3*cosh(x)^2 + 1)*sinh(x)^2 + 2*cosh(x)^2 + 4*(cosh(x)^3 + cosh(x))*sinh(x) +
1), -1/4*(2*((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 + 2*(a + b)*cosh(x)^2 + 2*(3
*(a + b)*cosh(x)^2 + a + b)*sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 + (a + b)*cosh(x))*sinh(x) + a + b)*sqrt(-a - b)*
arctan(sqrt(2)*(b*cosh(x)^2 + 2*b*cosh(x)*sinh(x) + b*sinh(x)^2 - a - b)*sqrt(-a - b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2
+ (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a*b + b^2)*cosh(x)^4 + 4*(a*b + b^
2)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a*b + b^2)*sinh(x)^4 + (a^2 - a*b - 2*b^2)*cosh(x)^2 + (6*(a*b + b^2)*cosh(x)^2 + a^2
- a*b - 2*b^2)*sinh(x)^2 + a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(2*(a*b + b^2)*cosh(x)^3 + (a^2 - a*b - 2*b^2)*cosh(x))*sinh(
x))) + 2*((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 + 2*(a + b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a
+ b)*cosh(x)^2 + a + b)*sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 + (a + b)*cosh(x))*sinh(x) + a + b)*sqrt(-a - b)*arct
an(sqrt(2)*sqrt(-a - b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) +
sinh(x)^2))/((a + b)*cosh(x)^2 + 2*(a + b)*cosh(x)*sinh(x) + (a + b)*sinh(x)^2 + a + b)) - ((3*a + 2*b)*cosh(x
)^4 + 4*(3*a + 2*b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (3*a + 2*b)*sinh(x)^4 + 2*(3*a + 2*b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(3*a + 2*b)*cos
h(x)^2 + 3*a + 2*b)*sinh(x)^2 + 4*((3*a + 2*b)*cosh(x)^3 + (3*a + 2*b)*cosh(x))*sinh(x) + 3*a + 2*b)*sqrt(b)*l
og(-((a + 2*b)*cosh(x)^4 + 4*(a + 2*b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + 2*b)*sinh(x)^4 + 2*(a - 2*b)*cosh(x)^2 + 2*(3*
(a + 2*b)*cosh(x)^2 + a - 2*b)*sinh(x)^2 - 2*sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 - 1)*sqrt(b)*s
qrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*((a + 2*b
)*cosh(x)^3 + (a - 2*b)*cosh(x))*sinh(x) + a + 2*b)/(cosh(x)^4 + 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4 + 2*(3*cosh(x
)^2 + 1)*sinh(x)^2 + 2*cosh(x)^2 + 4*(cosh(x)^3 + cosh(x))*sinh(x) + 1)) + 2*sqrt(2)*(b*cosh(x)^2 + 2*b*cosh(x
)*sinh(x) + b*sinh(x)^2 - b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(
x) + sinh(x)^2)))/(cosh(x)^4 + 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4 + 2*(3*cosh(x)^2 + 1)*sinh(x)^2 + 2*cosh(x)^2 +
4*(cosh(x)^3 + cosh(x))*sinh(x) + 1), -1/2*(((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x
)^4 + 2*(a + b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 + a + b)*sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 + (a + b)*cosh(x)
)*sinh(x) + a + b)*sqrt(-a - b)*arctan(sqrt(2)*(b*cosh(x)^2 + 2*b*cosh(x)*sinh(x) + b*sinh(x)^2 - a - b)*sqrt(
-a - b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a*
b + b^2)*cosh(x)^4 + 4*(a*b + b^2)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a*b + b^2)*sinh(x)^4 + (a^2 - a*b - 2*b^2)*cosh(x)^2 +
(6*(a*b + b^2)*cosh(x)^2 + a^2 - a*b - 2*b^2)*sinh(x)^2 + a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(2*(a*b + b^2)*cosh(x)^3 + (a
^2 - a*b - 2*b^2)*cosh(x))*sinh(x))) - ((3*a + 2*b)*cosh(x)^4 + 4*(3*a + 2*b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (3*a + 2*b)*
sinh(x)^4 + 2*(3*a + 2*b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(3*a + 2*b)*cosh(x)^2 + 3*a + 2*b)*sinh(x)^2 + 4*((3*a + 2*b)*cosh(
x)^3 + (3*a + 2*b)*cosh(x))*sinh(x) + 3*a + 2*b)*sqrt(-b)*arctan(sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh
(x)^2 - 1)*sqrt(-b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh
(x)^2))/((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 + 2*(a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a +
b)*cosh(x)^2 + a - b)*sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 + (a - b)*cosh(x))*sinh(x) + a + b)) + ((a + b)*cosh(x
)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 + 2*(a + b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 + a + b)*
sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 + (a + b)*cosh(x))*sinh(x) + a + b)*sqrt(-a - b)*arctan(sqrt(2)*sqrt(-a - b)*
sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a + b)*cos
h(x)^2 + 2*(a + b)*cosh(x)*sinh(x) + (a + b)*sinh(x)^2 + a + b)) + sqrt(2)*(b*cosh(x)^2 + 2*b*cosh(x)*sinh(x)
+ b*sinh(x)^2 - b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 + a - b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(
x)^2)))/(cosh(x)^4 + 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4 + 2*(3*cosh(x)^2 + 1)*sinh(x)^2 + 2*cosh(x)^2 + 4*(cosh(x
)^3 + cosh(x))*sinh(x) + 1)]

________________________________________________________________________________________

giac [B]  time = 2.00, size = 584, normalized size = 6.64 \[ -\frac {1}{2} \, {\left (a + b\right )}^{\frac {3}{2}} \log \left ({\left | -\sqrt {a + b} e^{\left (2 \, x\right )} + \sqrt {a e^{\left (4 \, x\right )} + b e^{\left (4 \, x\right )} + 2 \, a e^{\left (2 \, x\right )} - 2 \, b e^{\left (2 \, x\right )} + a + b} + \sqrt {a + b} \right |}\right ) + \frac {1}{2} \, {\left (a + b\right )}^{\frac {3}{2}} \log \left ({\left | -\sqrt {a + b} e^{\left (2 \, x\right )} + \sqrt {a e^{\left (4 \, x\right )} + b e^{\left (4 \, x\right )} + 2 \, a e^{\left (2 \, x\right )} - 2 \, b e^{\left (2 \, x\right )} + a + b} - \sqrt {a + b} \right |}\right ) - \frac {{\left (3 \, a b + 2 \, b^{2}\right )} \arctan \left (-\frac {\sqrt {a + b} e^{\left (2 \, x\right )} - \sqrt {a e^{\left (4 \, x\right )} + b e^{\left (4 \, x\right )} + 2 \, a e^{\left (2 \, x\right )} - 2 \, b e^{\left (2 \, x\right )} + a + b} + \sqrt {a + b}}{2 \, \sqrt {-b}}\right )}{\sqrt {-b}} - \frac {{\left (a^{2} + 2 \, a b + b^{2}\right )} \log \left ({\left | -{\left (\sqrt {a + b} e^{\left (2 \, x\right )} - \sqrt {a e^{\left (4 \, x\right )} + b e^{\left (4 \, x\right )} + 2 \, a e^{\left (2 \, x\right )} - 2 \, b e^{\left (2 \, x\right )} + a + b}\right )} {\left (a + b\right )} - \sqrt {a + b} {\left (a - b\right )} \right |}\right )}{2 \, \sqrt {a + b}} - \frac {2 \, {\left ({\left (a b + 2 \, b^{2}\right )} {\left (\sqrt {a + b} e^{\left (2 \, x\right )} - \sqrt {a e^{\left (4 \, x\right )} + b e^{\left (4 \, x\right )} + 2 \, a e^{\left (2 \, x\right )} - 2 \, b e^{\left (2 \, x\right )} + a + b}\right )}^{3} + {\left (3 \, a b - 2 \, b^{2}\right )} {\left (\sqrt {a + b} e^{\left (2 \, x\right )} - \sqrt {a e^{\left (4 \, x\right )} + b e^{\left (4 \, x\right )} + 2 \, a e^{\left (2 \, x\right )} - 2 \, b e^{\left (2 \, x\right )} + a + b}\right )}^{2} \sqrt {a + b} + {\left (3 \, a^{2} b - 3 \, a b^{2} - 2 \, b^{3}\right )} {\left (\sqrt {a + b} e^{\left (2 \, x\right )} - \sqrt {a e^{\left (4 \, x\right )} + b e^{\left (4 \, x\right )} + 2 \, a e^{\left (2 \, x\right )} - 2 \, b e^{\left (2 \, x\right )} + a + b}\right )} + {\left (a^{2} b - a b^{2} + 2 \, b^{3}\right )} \sqrt {a + b}\right )}}{{\left ({\left (\sqrt {a + b} e^{\left (2 \, x\right )} - \sqrt {a e^{\left (4 \, x\right )} + b e^{\left (4 \, x\right )} + 2 \, a e^{\left (2 \, x\right )} - 2 \, b e^{\left (2 \, x\right )} + a + b}\right )}^{2} + 2 \, {\left (\sqrt {a + b} e^{\left (2 \, x\right )} - \sqrt {a e^{\left (4 \, x\right )} + b e^{\left (4 \, x\right )} + 2 \, a e^{\left (2 \, x\right )} - 2 \, b e^{\left (2 \, x\right )} + a + b}\right )} \sqrt {a + b} + a - 3 \, b\right )}^{2}} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*tanh(x)^2)^(3/2),x, algorithm="giac")

[Out]

-1/2*(a + b)^(3/2)*log(abs(-sqrt(a + b)*e^(2*x) + sqrt(a*e^(4*x) + b*e^(4*x) + 2*a*e^(2*x) - 2*b*e^(2*x) + a +
b) + sqrt(a + b))) + 1/2*(a + b)^(3/2)*log(abs(-sqrt(a + b)*e^(2*x) + sqrt(a*e^(4*x) + b*e^(4*x) + 2*a*e^(2*x
) - 2*b*e^(2*x) + a + b) - sqrt(a + b))) - (3*a*b + 2*b^2)*arctan(-1/2*(sqrt(a + b)*e^(2*x) - sqrt(a*e^(4*x) +
b*e^(4*x) + 2*a*e^(2*x) - 2*b*e^(2*x) + a + b) + sqrt(a + b))/sqrt(-b))/sqrt(-b) - 1/2*(a^2 + 2*a*b + b^2)*lo
g(abs(-(sqrt(a + b)*e^(2*x) - sqrt(a*e^(4*x) + b*e^(4*x) + 2*a*e^(2*x) - 2*b*e^(2*x) + a + b))*(a + b) - sqrt(
a + b)*(a - b)))/sqrt(a + b) - 2*((a*b + 2*b^2)*(sqrt(a + b)*e^(2*x) - sqrt(a*e^(4*x) + b*e^(4*x) + 2*a*e^(2*x
) - 2*b*e^(2*x) + a + b))^3 + (3*a*b - 2*b^2)*(sqrt(a + b)*e^(2*x) - sqrt(a*e^(4*x) + b*e^(4*x) + 2*a*e^(2*x)
- 2*b*e^(2*x) + a + b))^2*sqrt(a + b) + (3*a^2*b - 3*a*b^2 - 2*b^3)*(sqrt(a + b)*e^(2*x) - sqrt(a*e^(4*x) + b*
e^(4*x) + 2*a*e^(2*x) - 2*b*e^(2*x) + a + b)) + (a^2*b - a*b^2 + 2*b^3)*sqrt(a + b))/((sqrt(a + b)*e^(2*x) - s
qrt(a*e^(4*x) + b*e^(4*x) + 2*a*e^(2*x) - 2*b*e^(2*x) + a + b))^2 + 2*(sqrt(a + b)*e^(2*x) - sqrt(a*e^(4*x) +
b*e^(4*x) + 2*a*e^(2*x) - 2*b*e^(2*x) + a + b))*sqrt(a + b) + a - 3*b)^2

________________________________________________________________________________________

maple [B]  time = 0.09, size = 578, normalized size = 6.57 \[ -\frac {\left (\left (\tanh \relax (x )-1\right )^{2} b +2 \left (\tanh \relax (x )-1\right ) b +a +b \right )^{\frac {3}{2}}}{6}-\frac {b \sqrt {\left (\tanh \relax (x )-1\right )^{2} b +2 \left (\tanh \relax (x )-1\right ) b +a +b}\, \tanh \relax (x )}{4}-\frac {3 \sqrt {b}\, \ln \left (\frac {\left (\tanh \relax (x )-1\right ) b +b}{\sqrt {b}}+\sqrt {\left (\tanh \relax (x )-1\right )^{2} b +2 \left (\tanh \relax (x )-1\right ) b +a +b}\right ) a}{4}+\frac {\sqrt {a +b}\, \ln \left (\frac {2 a +2 b +2 \left (\tanh \relax (x )-1\right ) b +2 \sqrt {a +b}\, \sqrt {\left (\tanh \relax (x )-1\right )^{2} b +2 \left (\tanh \relax (x )-1\right ) b +a +b}}{\tanh \relax (x )-1}\right ) a}{2}-\frac {\sqrt {\left (\tanh \relax (x )-1\right )^{2} b +2 \left (\tanh \relax (x )-1\right ) b +a +b}\, a}{2}-\frac {b^{\frac {3}{2}} \ln \left (\frac {\left (\tanh \relax (x )-1\right ) b +b}{\sqrt {b}}+\sqrt {\left (\tanh \relax (x )-1\right )^{2} b +2 \left (\tanh \relax (x )-1\right ) b +a +b}\right )}{2}+\frac {\sqrt {a +b}\, \ln \left (\frac {2 a +2 b +2 \left (\tanh \relax (x )-1\right ) b +2 \sqrt {a +b}\, \sqrt {\left (\tanh \relax (x )-1\right )^{2} b +2 \left (\tanh \relax (x )-1\right ) b +a +b}}{\tanh \relax (x )-1}\right ) b}{2}-\frac {\sqrt {\left (\tanh \relax (x )-1\right )^{2} b +2 \left (\tanh \relax (x )-1\right ) b +a +b}\, b}{2}+\frac {\left (\left (1+\tanh \relax (x )\right )^{2} b -2 \left (1+\tanh \relax (x )\right ) b +a +b \right )^{\frac {3}{2}}}{6}-\frac {b \sqrt {\left (1+\tanh \relax (x )\right )^{2} b -2 \left (1+\tanh \relax (x )\right ) b +a +b}\, \tanh \relax (x )}{4}-\frac {3 \sqrt {b}\, \ln \left (\frac {\left (1+\tanh \relax (x )\right ) b -b}{\sqrt {b}}+\sqrt {\left (1+\tanh \relax (x )\right )^{2} b -2 \left (1+\tanh \relax (x )\right ) b +a +b}\right ) a}{4}-\frac {\ln \left (\frac {2 a +2 b -2 \left (1+\tanh \relax (x )\right ) b +2 \sqrt {a +b}\, \sqrt {\left (1+\tanh \relax (x )\right )^{2} b -2 \left (1+\tanh \relax (x )\right ) b +a +b}}{1+\tanh \relax (x )}\right ) \sqrt {a +b}\, a}{2}+\frac {\sqrt {\left (1+\tanh \relax (x )\right )^{2} b -2 \left (1+\tanh \relax (x )\right ) b +a +b}\, a}{2}-\frac {b^{\frac {3}{2}} \ln \left (\frac {\left (1+\tanh \relax (x )\right ) b -b}{\sqrt {b}}+\sqrt {\left (1+\tanh \relax (x )\right )^{2} b -2 \left (1+\tanh \relax (x )\right ) b +a +b}\right )}{2}-\frac {\ln \left (\frac {2 a +2 b -2 \left (1+\tanh \relax (x )\right ) b +2 \sqrt {a +b}\, \sqrt {\left (1+\tanh \relax (x )\right )^{2} b -2 \left (1+\tanh \relax (x )\right ) b +a +b}}{1+\tanh \relax (x )}\right ) \sqrt {a +b}\, b}{2}+\frac {\sqrt {\left (1+\tanh \relax (x )\right )^{2} b -2 \left (1+\tanh \relax (x )\right ) b +a +b}\, b}{2} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((a+b*tanh(x)^2)^(3/2),x)

[Out]

-1/6*((tanh(x)-1)^2*b+2*(tanh(x)-1)*b+a+b)^(3/2)-1/4*b*((tanh(x)-1)^2*b+2*(tanh(x)-1)*b+a+b)^(1/2)*tanh(x)-3/4
*b^(1/2)*ln(((tanh(x)-1)*b+b)/b^(1/2)+((tanh(x)-1)^2*b+2*(tanh(x)-1)*b+a+b)^(1/2))*a+1/2*(a+b)^(1/2)*ln((2*a+2
*b+2*(tanh(x)-1)*b+2*(a+b)^(1/2)*((tanh(x)-1)^2*b+2*(tanh(x)-1)*b+a+b)^(1/2))/(tanh(x)-1))*a-1/2*((tanh(x)-1)^
2*b+2*(tanh(x)-1)*b+a+b)^(1/2)*a-1/2*b^(3/2)*ln(((tanh(x)-1)*b+b)/b^(1/2)+((tanh(x)-1)^2*b+2*(tanh(x)-1)*b+a+b
)^(1/2))+1/2*(a+b)^(1/2)*ln((2*a+2*b+2*(tanh(x)-1)*b+2*(a+b)^(1/2)*((tanh(x)-1)^2*b+2*(tanh(x)-1)*b+a+b)^(1/2)
)/(tanh(x)-1))*b-1/2*((tanh(x)-1)^2*b+2*(tanh(x)-1)*b+a+b)^(1/2)*b+1/6*((1+tanh(x))^2*b-2*(1+tanh(x))*b+a+b)^(
3/2)-1/4*b*((1+tanh(x))^2*b-2*(1+tanh(x))*b+a+b)^(1/2)*tanh(x)-3/4*b^(1/2)*ln(((1+tanh(x))*b-b)/b^(1/2)+((1+ta
nh(x))^2*b-2*(1+tanh(x))*b+a+b)^(1/2))*a-1/2*ln((2*a+2*b-2*(1+tanh(x))*b+2*(a+b)^(1/2)*((1+tanh(x))^2*b-2*(1+t
anh(x))*b+a+b)^(1/2))/(1+tanh(x)))*(a+b)^(1/2)*a+1/2*((1+tanh(x))^2*b-2*(1+tanh(x))*b+a+b)^(1/2)*a-1/2*b^(3/2)
*ln(((1+tanh(x))*b-b)/b^(1/2)+((1+tanh(x))^2*b-2*(1+tanh(x))*b+a+b)^(1/2))-1/2*ln((2*a+2*b-2*(1+tanh(x))*b+2*(
a+b)^(1/2)*((1+tanh(x))^2*b-2*(1+tanh(x))*b+a+b)^(1/2))/(1+tanh(x)))*(a+b)^(1/2)*b+1/2*((1+tanh(x))^2*b-2*(1+t
anh(x))*b+a+b)^(1/2)*b

________________________________________________________________________________________

maxima [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \int {\left (b \tanh \relax (x)^{2} + a\right )}^{\frac {3}{2}}\,{d x} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*tanh(x)^2)^(3/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((b*tanh(x)^2 + a)^(3/2), x)

________________________________________________________________________________________

mupad [F]  time = 0.00, size = -1, normalized size = -0.01 \[ \int {\left (b\,{\mathrm {tanh}\relax (x)}^2+a\right )}^{3/2} \,d x \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((a + b*tanh(x)^2)^(3/2),x)

[Out]

int((a + b*tanh(x)^2)^(3/2), x)

________________________________________________________________________________________

sympy [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \int \left (a + b \tanh ^{2}{\relax (x )}\right )^{\frac {3}{2}}\, dx \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*tanh(x)**2)**(3/2),x)

[Out]

Integral((a + b*tanh(x)**2)**(3/2), x)

________________________________________________________________________________________